Inhalt: 

1. Das rechtwinklige Dreieck

2. Der Satz des Pythagoras

3. Der Satz des Pythagoras in ebenen Figuren

4. Der Satz des Pythagoras in räumlichen Figuren

5. Anwendungen und Prüfungsaufgaben

Um den Satz des Pythagoras sicher beherrschen zu können, sollte man das rechtwinklige Dreieck gut kennen. Die Bezeichnung der Eckpunkte, Seiten und Winkel ist wie gewohnt. Neu sind die beiden Begriffe Hypotenuse und Kathete. 

Die Hypotenuse ist dabei die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. 

Die beiden übrigen Seiten nennt man Katheten. Sie liegen direkt am rechten Winkel. 

Die Hypotenuse und die Katheten gibt es in jedem rechtwinkligen Dreieck. Es ist völlig egal, welche Bezeichnung dabei die Eckpunkte und die Seiten haben: 

In diesem Beispiel ist also die Seite d die Hypotenuse und die Seiten e und f sind die Katheten. Wenn du im Unterricht einmal die Aufgabe erhältst, in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse zu kennzeichnen, musst du lediglich den rechten Winkel finden und schauen, welche Seite diesem gegenüberliegt. Meist ist der rechte Winkel sogar noch durch den typischen Punkt markiert - das macht es besonders einfach die Hypotenuse (und damit auch die Katheten) zu entlarven. 

Irgendwann im Laufe deiner Schulzeit wirst du wahrscheinlich die Aufgabe erhalten, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen und über den Dreiecksseiten Quadrate zu ergänzen. Und dann sollen die Flächen der drei entstandenen Quadrate verglichen werden.  Ich hab dies im folgenden Beispiel einmal mit folgenden Seitenlängen getan: a = 4cm, b = 3cm und c = 5cm. Die beiden Quadrate über den Katheten sind hier blau und das Quadrat über der Hypotenuse orange:  

Vergleicht man die Flächeninhalte der entstandenen Quadrate, fällt jedem einigen Folgendes auf: 

Nimmt man die Flächen beider (blauen) Katheten-Quadrate zusammen (9 cm² + 16 cm²) erhält man die Fläche des (orangefarbenen) Hypotenusen-Quadrates (25 cm²).  

Zufall? Nein. Dieses Phänomen tritt tatsächlich bei JEDEM RECHTWINKLIGEN Dreieck auf. Überprüfe es doch einmal selbst! Du kannst die Maße deines Dreiecks beliebig ändern, es wird immer so sein, dass der Flächeninhalt der blauen Quadrate zusammen so groß ist, wie der Flächeninhalt des orangefarbenen Quadrates. Versprochen! :)

Und nun mitdenken, denn wir können diese Entdeckung auch kürzer formulieren: 

Flächeninhalt von Katheten-Quadrat 1 + Flächeninhalt von Katheten-Quadrat 2  = Flächeninhalt Hyptenusen-Quadrat

Nun wissen wir, dass die Flächeninhalte der Quadrate wie folgt zu berechnen sind: 

Großes blaues Quadrat:          A = a²

Kleines blaues Quadrat:          A = b²

Orangefarbenes Quadrat:       A = c²

Damit ergibt sich eine neue (überaus mathematische) Formulierung: 

 a² + b² = c²

That's it! Der berühmte Satz des Pythagoras :) 

Wem das nicht genügt - hier nochmal eine klassische Merkwissen-Formulierung: 

"In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über den beiden Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Nennt man die Katheten a und b und die Hypotenuse c, so ergibt sich: a² + b² = c²."

Und (Achtung Schleichwerbung! ) wer sich das nicht merken kann, der sollte sich unbedingt folgendes Video ansehen: 

https://www.youtube.com/watch?v=8IZ_0qhZ36M

Hierbei handelt es sich den Pythagoras-Song von DorFuchs. Einmal angesehen, vergesst ihr die Formel garantiert nicht mehr ;)

Jetzt ist es so, dass die Seiten im Dreieck nicht immer a, b und c heißen. Dennoch lässt sich der Satz des Pythagoras formulieren bzw. entsprechende Gleichung aufstellen: 

Beispiel 1: 

Hier heißen die Seiten r, s und t. Die Seite t ist die Hypotenuse, also gilt: r² + s² = t²

Beispiel 2: 

Hier heißen die Seiten x, y und z. Die Seite x ist die Hypotenuse, also gilt: y² + z² = x²

Beispiel 3: 

Nicht immer sind die Seiten gekennzeichnet. Zuweilen sind es auch die Eckpunkte, sodass der Satz des Pythagoras mit Hilfe der entsprechenden Strecken formuliert wird. 

Die Hypotenuse ist dabei die Strecke von A nach B, die Katheten die Strecken von A nach C und von B nach C. Damit gilt hier: 

Wer hier noch unsicher ist, kann sich hier ein Übungsblatt (mit Lösungen) herunterladen:

Nun stellt sich die Frage, wozu man den Satz des Pythagoras eigentlich nutzen kann. Hier gibt es gleich mehrere Aspekte. Mit dem Satz des Pythagoras kann man: 

- die fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen

- prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

- Streckenlängen in ebenen und räumlichen geometrischen Figuren bestimmen

- unheimlich viele Alltagsprobleme lösen

Aber eines nach dem anderen. Starten wir doch einmal mit der Berechnung einer fehlenden Seite. 

Und dann höre ich im Unterricht andauernd die Frage, wozu man "die schei** Gleichungen" braucht ;)

Gut, nächstes Beispiel. Man kann nicht nur die Hypotenuse berechnen, sondern auch eine fehlende Kathete: 

Alternativ kann man auch am Anfang die Gleichung umstellen und mit dieser rechnen. Wenn beispielsweise Kathete b gesucht ist, würde sich a² + b² = c²  wie folgt verändern: b² = c² - a² oder (um direkt b auszurechnen): 

Welche Vorgehensweise gewählt wird, steht dabei jedem gleich. Wichtig ist, diejenige zu finden, mit der man sich am sichersten fühlt. 

Im nächsten Beispiel sind nicht zwei Seiten gegeben. Stattdessen ist eine Seite und der Flächeninhalt eines zugehörigen Quadrates bekannt: 

Und für diejenigen, die die Aufgabe haben, zu überprüfen, ob der rechte Winkel tatsächlich einer ist: 

Würden beide Seiten der Gleichung die selbe Zahl ergeben, so wäre das Dreieck tatsächlich rechtwinklig.

Wichtig bei solchen Aufgaben ist es, vorher herauszufinden, welche Seite die Hypotenuse ist. Achtet man nicht hierauf, wird die ganze Rechnung völliger Quark ;)

Wer die Berechnungen noch etwas üben möchte, kann sich ein Übungsblatt (mit Lösungen) herunterladen.