Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Potenzen kennst du wahrscheinlich hoffentlich schon aus Klasse 5. Hier hast du sie als "Hochzahlen" kennengelernt und
vielleicht sogar die Quadratzahlen bis 20 auswendig lernen müssen.
Erinnerst du dich? "Die Zahl oben gibt an, wie oft die Zahl unten mit sich selbst multipliziert wird". Wenn nicht, kannst du im Bereich Mathe 5 / 6 beim Multiplizieren noch einmal nachsehen.
So bedeutet 23 zum Beispiel, dass die 2 dreimal miteinander multipliziert wird: 2 * 2 * 2 (=8).
Keinesfalls aber rechnest du 2 * 3! (Übrigens finde ich hier in jeder Klasse wenigstens zwei Schüler, die genau das machen ;) )
Verallgemeinert (in "schlau" ausgedrückt) kann man Potenzen in folgender Form schreiben:
a1 = a 31 = 3
a0 = 1 40 = 1
• Potenzen mit dem Exponenten 2: Quadratzahlen
• Potenzen mit dem Exponenten 3: Kubikzahlen
Zehnerpotenzen
Große Zahlen können als Potenzen einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz dargestellt werden. Diese sind manchmal deutlich einfacher zu lesen oder zu handhaben.
Beispiele:
40 = 4 * 10 = 4 * 101
5 000 = 5 * 1 000 = 5 * 103
350 000 = 3,5 * 100 000 = 3,5 * 105
2 450 000 = 2,45 * 1 000 000 = 2,45 * 106
und wenn man es übertreiben möchte, kann man auch Zahlen wie 4390000000000000000000000000000000000000 als Zehnerpotenz schreiben (4,39 * 1039 ).
Das Ganze ist auch nicht so schwer, denn das Vorgehen ist stets das gleiche. Hier erklärt am Beispiel 2 450 000:
| Notiere die Ziffer ganz links |
2 |
| Folgen weitere Ziffern außer Null, trenne diese mit einem Komma ab und schreibe sie mit auf. Solange bis danach nur noch Nullen folgen. Diese nicht mit aufschreiben. |
2,45
|
|
Notiere den Malpunkt und die Basis 10
|
2,45 * 10 |
| Zähle, wie viele Stellen die ursprüngliche Zahl OHNE die erste Ziffer hat. Schreibe diese Anzahl als Exponent. (2 450 000 hat ohne die 2 noch 6 Stellen --> Exponent 6) |
2,45 * 106 |
Gerne kannst du die obigen Beispiele nutzen, um zu prüfen, ob man dieses Verfahren tatsächlich immer anwenden kann.
Quadratwurzel
Rechenoperationen lassen sich in der Regel umkehren. Bei der Addition (Plus) geht das mit einer Subtraktion (Minus), bei einer Multiplikation (Mal) mit einer Division (Geteilt). Auch das Quadrieren ("eine Zahl mit sich selbst malrechnen"), lässt sich umkehren. Dies geht über das Radizieren (Wurzelziehen).
Die Quadratwurzel ist dabei eine positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:
Achtung:
Aus einer negativen Zahl lässt sich keine Wurzeln ziehen!
Das liegt daran, dass das Produkt zweier negativer Zahlen immer positiv ist (erinnere dich an Klasse 7: "Minus mal Minus gleich Plus" oder schau bei den Rationalen Zahlen nochmal nach.)
n-te Wurzel
Die Wurzel lässt sich nicht nur bei Quadratzahlen ziehen, sondern auch bei allen anderen Potenzen. So kann man beispielsweise 23 = 8 umkehren, indem man die "dritte Wurzel" aus 8 zieht. 46= 4096 lässt sich durch die "vierte Wurzel" aus 4096 umkehren.
Die n-te Wurzel einer positiven Zahl b ist also die positive Zahl a, deren n-te Potenz gleich der Zahl b ist.
Praktischerweise besitzt jeder gängige Taschenrechner die nötigen Tasten, um einen diese Arbeit abzunehmen ;-)