Teiler und Vielfache

Inhalt: 

1. Vielfache

2. Teiler

3. kgV und ggT

4. Teilbarkeitsregeln

5. Primzahlen

Die Vielfachen einer Zahl sind im Grunde nichts anders als die Ergebnisse der zugehörigen "Malreihe", die die meisten Schüler bereits aus der Grundschule kennen. 

 

 

Beispiel:

1 ⋅ 4 = 4

2 ⋅ 4 = 8

3 ⋅ 4 = 12

4 ⋅ 4 = 16

...

 

Diese werden in den höheren Klassen als "Vielfachenmenge" geschrieben. 

 

V₄ = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …}

 

Man notiert ein V (für Vielfache) und tiefgestellt die Zahl, deren Vielfache notiert werden sollen. In der Regel genügt es, die ersten drei oder vier Vielfachen aufzuschreiben. Die Pünktchen am Ende sollen verdeutlichen, dass es zu jeder Zahl unendlich viele Vielfache gibt. Man spricht "12 ist ein Vielfaches von 4".  

 

Weitere Beispiele:

V₅ = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 …}

V₁₀ = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80…}

V₁₂ = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 …}

 

Weil ich an dieser Stelle jedes Jahr gefragt werden: Ja, es müssen geschweifte  (Mengen-)Klammern sein. Das gehört einfach dazu, wenn man mathematisch korrekt arbeiten möchte :)

Eine Zahl kann immer durch verschiedene andere Zahlen restlos geteilt werden, die sogenannten Teiler. Diese lassen sich als "Teilermenge" schreiben.

 

Beispiel:    

 

T₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

 

Man schreibt  3│18 und spricht „Drei teilt 18“. Das bedeutet, die Rechenaufgabe 18 : 3 ist restlos lösbar. 3 ist also ein Teiler von 18.

 

Achtung: 18│ 3 gilt nicht. 

 

Alle Teiler einer Zahl zu finden, fällt nicht immer leicht. Meine Schüler kommen mit folgendem Verfahren - erläutert am Beispiel der Zahl 18 -  ganz gut klar: 

 

Schritt 1:

Notiere das große T (für Teiler) und etwas tiefergestellt die Zahl, um die es geht. Setze das Gleichheitszeichen dahinter und die geschweiften Klammern. 

T₁₈ = {                         }

 

Schritt 2: 

Notiere die 1 und die Zahl selbst  - hier also die 18 - in der Klammer. Lasse etwas Platz für weitere Teiler.

T₁₈ = {1,                ,18}

 

Schritt 3:

Prüfe, ob die 2 ein Teiler der Zahl 18 ist, d.h. ob sich 18 : 2 ohne Rest teilen lässt. Wenn ja, notiere diese Zahl.

T₁₈ = {1, 2,             ,18}

 

Schritt 3:

Notiere die Zahl, die mit 2 multipliziert 18 ergibt. In diesem Fall ist es die 9, da 2 ⋅ 9 wieder 18 ergibt. Notiere die 9. 

T₁₈ = {1, 2,       , 9, 18}

 

Schritt 4: 

Prüfe, ob die Zahl 3 ein Teiler der Zahl 18 ist. Wenn ja (und das ist sie hier), notiere diese Zahl. 

T₁₈ = {1, 2, 3,    , 9, 18}

 

Schritt 5:

 

Notiere die Zahl, die mit 3 multipliziert 18 ergibt. In diesem Fall ist es die 6, da 3 ⋅ 6 wieder 18 ergibt. Notiere die 6.

T₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

 

Schritt 6

Prüfe, ob die Zahl 4 ein Teiler der Zahl 18 ist. Da sie es nicht ist, wird sie auch nicht notiert. 

 

Schritt 7

Prüfe ob die Zahl 5 ein Teiler der Zahl 18 ist. Da sie es nicht ist, wird sie auch nicht notiert. 

 

Schritt 8

Nun wäre die Zahl 6 zu prüfen. Diese ist aber bereits notiert, sodass wir an dieser Stelle aufhören können und alle Teiler gefunden haben. 

 

 

Beim Finden von Teilern geht es also darum, "Mal-Pärchen" zu finden, die zusammen wieder die Zahl ergeben, deren Teiler gesucht werden. In unserem Beispiel waren es die Pärchen "1 und 18", "2 und 9", sowie "3 und 6".  Meine Schüler nennen diese liebevoll "Teiler-Pärchen". 

 

Bei einigen Zahlen - den Quadratzahlen - gibt es noch einen "Single-Teiler". Bei den Teilern der Zahl 36 ist es beispielsweise die 6, da 6 ⋅ 6 = 36 ergibt. Sie wird nur einmal notiert: 

 

T₃₆ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18, 36}

 

Manchmal Immer dann, wenn ich die ersten Teilermengen mit meinen Schülern notiere, gibt es die Beschwerde, dass der Platz in den Klammern nicht genügt oder noch zuviel Platz in den geschweiften Klammern übrig ist. Das ist (zumindest für mich) kein Problem, denn mit etwas Übung, gelingt das Abschätzen des nötigen Platzes besser. Und im Zweifelsfalle steht es schließlich jedem frei, sich die Teiler zunächst auf einem Schmierzettel zu notieren, zu sortieren und dann sauber in den Hefter zu übertragen ;)

Im Lehrplan für die Thüringer Regelschule ist dieses Thema nicht gefordert, obwohl die Kenntnis hierüber in anderen Fächern (zum Beispiel Chemie) oft hilfreich sein kann. Auf dem Gymnasium hingegen ist es fester Bestandteil und Schüler, die später einen Wechsel anstreben, sollten dieses Thema kennen.  

 

Das man zu jeder Zahl unendlich viele Vielfache notieren kann, sollte nun bekannt sein. 

Es ist auch möglich, die Vielfachen von zwei (oder mehr) Zahlen zu notieren und gemeinsame Vielfache zu markieren: 

 

V₃ = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …}

 

  V₄ = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …}

 

Auch gemeinsame Vielfache gibt es unendlich viele. Jedoch gibt es nur ein einziges "kleinstes gemeinsames Vielfache" der beiden Zahlen - das kgV. 

In diesem Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 3 und 4 also die 12. Man schreibt: kgV (3; 4) = 12. 

 

Und was mit den Vielfachen geht, geht natürlich auch mit den Teilern. Allerdings wird hier nicht der kleinste Teiler, sondern der größte gemeinsame Teiler  - der ggT - gesucht: 

 

T₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

 

           T₃₀ = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

 

Hier gibt es vier gemeinsame Teiler: Die Zahlen 1, 2, 5 und 10. Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 20 und 30 ist dabei die Zahl 10. Man schreibt: ggT (20, 30) = 10. 

 

Und wofür braucht man das jetzt? (Übrigens eine der häufigsten Fragen, die ich im Mathe-Unterricht höre). Hier zwei Anwendungsaufgaben:

 

Beispiel 1: 

Am Hauptbahnhof fahren Busse, Straßenbahnen und Züge ab. Die Busse starten alle sechs Minuten, die Straßenbahn alle 12 Minuten und die Züge alle 15 Minuten. Alle drei Verkehrsmittel fahren um 8.00 Uhr morgens gleichzeig vom Bahnhof ab. Berechne, wann sie das nächste mal gleichzeitig losfahren. 

 

Lösung:     

V_Bus       = {8,00h; 8,06h; 8,12h; 8.18h; 8.24h; 8.30h; 8.36h; 8.42h; 8.48h; 8.54h;  9,00h; …}

V_Straß.   = {8.00h; 8.12h;; 8.24h; 8.36h; 8.48; 9,00h; …}

 

V_Zug      = {8.00h; 8.15h; 8.30h; 8.45; 9.00h, …}

 

--> Um 9.00 Uhr fahren alle drei wieder gemeinsam vom Bahnhof ab. 

 

Beispiel 2: 

Ein Riesen-Blech Kuchen soll für das Schulfest in quadratische Stücke geschnitten werden. Das Blech hat die Maße 144cm x 120cm. Gib alle Möglichkeiten an, den Kuchen in quadratische Stücke zu schneiden!

 

Lösung: 

Es ist zunächst zu überlegen, in welche Längen die Seiten jeweils geteilt werden können. Hierfür sind die Teiler zu notieren: 

 

T₁₄₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}

 

T₁₂₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

 

 

Die gemeinsamen Teiler sind genau die Längen, die für quadratische Stücke genutzt werden

können. Der Bäcker kann also Kuchenstücke in folgenden Maßen schneiden: 

1cm x 1cm

2cm x 2cm

3cm x 3cm

4cm x 4cm

6cm x 6cm

8cm x 8cm

12cm x 12cm

24cm x 24cm

 

Welche Maße nun für einen Verkauf sinnvoll sind, könnt ihr selbst überlegen ;)

Nicht immer hat man die Zeit, durch Notieren der Teilermengen herauszufinden, wann eine Zahl durch eine andere teilbar ist oder nicht. Ebenso sind schriftliche Divisionen zur Prüfung einer Teilbarkeit ohne Rest manchmal echt lästig. Da Mathematiker ja grundsätzlich faul sind

 

effizient arbeiten, nutzen wir hier einfach den Vorteil der Teilbarkeitsregeln. Diese erlauben es, schnell zu prüfen, ob Zahlen durch bestimmte andere Zahlen teilbar sind oder nicht. 

Der Haken dabei: Man sollte diese Regeln einmal gelernt haben. Andernfalls vergeudet man Zeit und Energie zum Nachschlagen und in dieser Zeit hätte man auch wieder schriftlich dividieren können :)

 

Im Schullalltag unterscheiden wir zwei Arten von Teilbarkeitsregeln: 

1. Endziffernregeln

2. Quersummenregeln

 

Endziffernregeln erlauben es, durch einen Blick auf die letzte(n) Ziffer(n) einer Zahl eine Aussage über ihre Teilbarkeit zu treffen. Mit ein bisschen Übung muss man hier nichteinmal groß nachdenken.  Hier die gängigsten Regeln: 

 

Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern 0 sind.

Beispiel:                 100 │ 4700                                100 ∤ 3670

 

 

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

Beispiel:                 10 │ 1570                                  10 ∤ 5638

 

 

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist.

Beispiel:                 5 │ 7645                                    5 ∤ 8653

 

 

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6, oder 8 ist.

Beispiel:                 2 │ 3456                                    2 ∤ 6543

 

 

 

Gar nicht so schwer, oder?  Und das Coole ist, dass die Zahlen nun beliebig groß sein können und wir trotzdem in der Lage sind, eine Aussage über ihre Teilbarkeit zu treffen: 

 

Beispiel:

1 231 542 318 612 189 465 126 848 168 165 815 168 741 650

 

Ohne zu überlegen, sehen wir hier sofort, dass diese Zahl durch 10, 5 und 2 teilbar ist. Und das nur durch einen Blick auf die letzte Ziffer. Nur durch 100 ist sie nicht teilbar - da am Ende eben keine zwei Nullen stehen. 

 

 

Es gibt noch weitere Endziffernregeln:

 

Eine Zahl ist durch 1000 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern 0 sind.

Beispiel:                 1000 │ 65000                                       1000 ∤ 16670

 

 

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern zusammen eine Zahl bilden, die durch 4 teilbar ist oder am Ende zwei Nullen stehen.

Beispiel:               4│2156   da 56 : 4 = 14               4 ∤ 2942

                              4│5300

 

 

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern zusammen eine Zahl bilden, die durch 8 teilbar ist oder am Ende drei Nullen stehen.

Beispiel:               8│1280   da 280 : 8 = 35             8 ∤ 7859

 

                              8│5000

 

 

Bei den Regeln für die Teilbarkeit durch 4 und durch 8 muss man nun doch etwas nachdenken und sollte zumindest die "Malreihen für 4 und 8" kennen. Das macht zwar etwas Arbeit, aber ist trotzdem noch besser, als  12 315 498 131 : 8 schriftlich zu dividieren, nur um herauszufinden, dass hier ein Rest herauskam und die Zahl gar nicht durch 8 teilbar ist - zumindest mit dem bisherigen Wissensstand. Das es doch funktioniert, lernt ihr mit Einführung der gebrochenen Zahlen. 

 

Die Teilbarkeitsregel für die 4 hat  übrigens einen praktischen Nutzen. Sie hilft herauszufinden, wann Schaltjahre sind - also die Jahre, in denen es einen 29. Februar gibt. Das sind nämlich genau die Jahre, deren Jahreszahl durch 4 teilbar ist, also 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2018, 2022, ...

 

Einzige Ausnahme dabei sind die vollen Jahrhunderte, deren Jahreszahl nicht durch 400 teilbar ist. Aber die kommen jetzt nicht so häufig vor ;)

 

 

Neben den Endziffernregeln gibt es die Quersummenregeln. Dazu ist es wichtig zu wissen, dass die Quersumme die Summe der Ziffern einer Zahl ist. Etwas vereinfacht: Wenn man eine Zahl hat und alle ihre Ziffern einzeln zusammenaddiert, erhält man die Quersumme. Hier ein Beispiel: 

12345 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

 

Und jetzt die Regeln dazu: 

 

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Beispiel:                 3│159 , weil die Quersumme 15 ist und 3 │ 15.

                               3 ∤ 676, weil die Quersumme 19 ist und  3 ∤ 19.

 

 

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Beispiel:                 9 │ 882, weil die Quersumme 18 ist und 9 │ 18

 

                                9 ∤ 631, weil die Quersumme 10 ist und  9 ∤ 10

 

Und damit es etwas leichter wird, das ganze zu verstehen, gleich noch drei Beispiele: 

 

Beispiel 1: 

1926 ist durch 3 und durch 9 teilbar, da die Quersumme (1 + 9 + 2 + 6 =) 18 durch 3 und durch 9 teilbar ist. 

 

Beispiel 2: 

2373 ist durch 3 aber nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme (2 + 3+ 7 + 3 = ) 15 nur durch 3, nicht aber durch 9 teilbar ist. 

 

Beispiel 3: 

2468 ist weder durch 3 noch durch 9 teilbar, da die Quersumme (2 + 4 + 6 + 8 =) 20 weder durch 3 noch durch 9 teilbar ist. 

Primzahlen sind natürliche Zahlen mit der besonderen Eigenschaft, dass sie genau zwei Teiler haben, nämlich 1 und sich selbst. So einfach ist das.

 

Eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, heißt Primzahl. Sie ist durch 1 und sich selbst teilbar.

 

Beispiel:      23 ist eine Primzahl, da T₂₃ = {1, 23}

 

                    1 ist keine Primzahl, da T₁ = {1}           --> (nur ein Teiler)

 

Ein schnelles Verfahren zum Finden der Primzahlen bis 100 bietet übrigens das "Sieb des Eratosthenes". Ein Arbeitsblatt mit dem Verfahren findet ihr hier: