Inhalt: 

1. Natürliche Zahlen

2. Zahlenstrahl

3. Vergleichen und Ordnen

4. Das Zehnersystem

5. Große Zahlen

6. Runden von natürlichen Zahlen

7. Schätzen

8. Das Zweiersystem

9. Römische Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind im Prinzip genau die Zahlen, die du bereits seit vielen Jahren kennst und mit denen du das Zählen gelernt hast. Die 1 ist eine natürliche Zahl. Die 2 ist eine natürliche Zahl. Auch die 3, die 4, die 5 oder die 0 (Null) sind natürliche Zahlen. 1 234 234 789 ist eine natürliche Zahl (wenn auch eine sehr große - dazu kommen wir später).

Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Glaubst du nicht? Dann versuche doch einmal, die größte natürliche Zahl zu finden, die dir einfällt. Und dann rechne einfach +1. Und schon hast du eine noch größere Zahl. Hier kanns du wieder + 1 rechnen. Das kannst du stundenlang spielen, du wirst immer eine weitere Zahl finden, völlig egal, mit welcher Zahl du angefangen hast. :)

So. Und nun haben sich schlauen Mathematiker überlegt, dass man die natürlichen Zahlen alle irgendwie zusammenfassen sollte. Sie sprechen einfach von einer "Menge". Und zwar der Menge der natürlichen Zahlen. Und hierfür gibt es sogar ein Symbol:

 ℕ

Diese Einteilung wird für dich wichtig, wenn du in die höheren Klassen kommst und lernst, dass es neben den natürlichen Zahlen noch weitere Arten von Zahlen gibt (Minuszahlen, Brüche, Kommazahlen usw.). 

Wir können also in etwas "schlauer" sagen:

Die Zahlen 0; 1; 2; 3...heißen natürliche Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit bezeichnet:                                            ℕ = { 0; 1; 2; 3; 4, ... }

Man kann eine Zahl auf verschiedene Weisen darstellen:

 •   als Zahlwort                        fünfhundertneunzehntausendsiebenhundertacht

 •   mit Ziffern                           519 708

 •   mit Stellenwerten              5HT + 1ZT + 9T + 7H + 0Z + 8E   

     oder  in der Stellenwerttafel  

Falls du dich nicht mehr an die Bedeutung der Abkürzungen erinnern kannst: 

E = Einer

Z = Zehner

H = Hunderter

T = Tausender

ZT = Zehntausender

HT = Hunderttausender

(Dazu kommen wir später auch noch einmal)

Wenn du Zahlen als Zahlwörter schreiben musst, achte bitte darauf, dass diese nur solange klein und in einem einzigen Wort geschrieben werden, solange es Zahlen unter einer Million sind. Danach ändert sich die Schreibweise und alles, was größer ist, wird getrennt geschrieben (der Stellenwert selbst sogar groß). 

Beispiele:

512 987                     fünfhundertzwölftausendneunhundertsiebenundachtzig

9 753 513                  neun Millionen siebenhundertdreiundfünfzigtausendfünfhundertdreizehn

12 500 000                zwölf Millionen fünfhunderttausend

Weiter unten folgen noch weitere Beispiele, aber dazu müssen wir erstmal die richtig großen Zahlen kennenlernen ;)

Natürliche Zahlen lassen sich an einem Zahlenstrahl anordnen. Dies hilft uns die Ordnung unserer Zahlen zu verstehen, zum Beispiel, wann eine Zahl größer oder kleiner ist als eine andere Zahl. (Das ist nämlich genau dann der Fall, wenn sie an dem Zahlenstrahl weiter rechts steht.)

Natürlich geht dies auch mit größeren Zahlen. Und schon aus dem Bauchgefühl heraus weißt du, welche Zahlen an diesem Zahlenstrahl eigentlich fehlen. 

Richtig. In diesem Fall sind es die Zahlen 54, 58 und 59. 

Manchmal sind die Ausschnitte eines Zahlenstrahls größer bzw. der Bereich der Zahlen weiter gefasst. Quasi "herausgezoomt". So bekommt man mehr Zahlen unter, muss aber auch gründlicher hinsehen und überlegen, welche Zahlen an welcher Stelle stehen. 

Überlege doch einmal am folgenden Beispiel, welche Zahlen markiert sind. Die Lösungen findest du am Ende der Seite unter "Beispiel-Übung 1".  

Wie sieht es aus, wenn die Zahlen größer werden?  Trau dich!

Als Tipp: Überlege dir, in welche Schritte der Zahlenstrahl eingeteilt ist. Bisher waren es immer Einer-Schritte. Hier sind die Sprünge jedoch größer. 

Die Lösungen findest du unter Beispiel-Übung 2. 

Und dann gibt es in der Schule immer wieder mal diese fiesen, gemeinen herausfordernden Beispiele, bei denen man wirklich gut nachdenken muss um sich zunächst über die Einteilung des Zahlenstrahls klarzuwerden. 

Als Hilfe gibt es hierzu oft vorgegebene Zahlen. Im folgenden Beispiel die 0 und die 50. Von der 0 bis zur 50 sind es fünf Einteilungen. Damit ergibt sich, dass jeder Einteilungsstrich für einen Zehner stehen muss. Damit kannst du herausfinden, dass A für die Zahl 20 steht und C für die Zahl 80. 

B befindet sich genau zwischen zwei Einteilungsstrichen - und zwar in der Mitte von 50 und 60. Dass B damit für die Zahl 65 steht, hast du ganz sicher schon alleine herausgefunden :-) 

Lösungen zum Zahlenstrahl: 

Beispiel-Übung 1:

A = 5; B = 24; C = 36; D = 71 und E = 97

Beispiel-Übung 2:

Einteilung in Zehner-Schritten. 

A = 110; B = 290; C = 430; D = 650 und E = 890.  

Im Unterricht wirst du sicher früher oder später die Aufgabe erhalten, zwei oder mehrere Zahlen zu vergleichen oder zu ordnen. Bist du hier sicher, so fällt es dir sicher nicht schwer, beispielsweise Preise oder Mengen zu vergleichen. In der Regel lernst du dies schon in der Grundschule und dir ist folgendes längst klar: 

Von zwei Zahlen ist diejenige größer, die mehr Stellen hat. 

Beispiel:

42 850 000             >                  42 850

                                                      8 Stellen                                             5 Stellen

Haben die Zahlen gleich viele Stellen, so vergleicht man die Ziffern von links nach rechts. Die erste Stelle, die sich unterscheidet, gibt uns die notwendige Information, welche Zahl größer ist. 

Beispiel:                                  2 475 009 300          <                   2 479 009 300

In diesem Beispiel sind die ersten drei Ziffern (2, 4 und 7) identisch. Dann folgt bei der linken Zahl eine 5 und bei der rechten Zahl eine 9. Da die 9 größer ist als die 5, ist die gesamte rechte Zahl größer als die linke Zahl. 

Achtet unbedingt auf die entsprechende Verwendung der mathematischen Symbole (Vergleichszeichen): 

<    bedeutet "kleiner als"

>    bedeutet "größer als"

=    bedeutet "genauso groß wie" bzw. "ist gleich"

(Daneben gibt es noch weitere Symbole zum Vergleich, aber die sind in diesem Zusammenhang normalerweise nicht notwendig.) 

Meine Schüler kommen in der Regel mit genialen Eselsbrücken für die Symbole aus der Grundschule. So stellen sie sich die Zeichen als Vogelschnabel oder Krokodilmaul vor. Vogel oder Krokodil machen Schnabel / Maul immer in die Richtung auf, wo es "mehr zu futtern" (also die größere Zahl) gibt.  *Happs* :)

Das Zehnersystem ist unser gängiges Zahlensystem, dass du bereits von klein auf verwendest, ohne groß darüber nachzudenken. Erst zum Ende der Grundschulzeit oder zu Beginn der weiterführenden Schule kommen deine Lehrer auf die Idee, dich gezielter damit zu ärgern darüber zu informieren.  

Grundlage dieses Systems ist es, dass unsere Zahlen aus Stellenwerten aufgebaut sind. Wir haben (von rechts nach links) Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, ...

Aus diesen Stellenwerten setzen sich unsere bekannten Zahlen zusammen. 

Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stellung in der Zahl ab. Je weiter links eine Ziffer steht, desto höher ihr Wert. Man spricht auch von einem Stellenwertsystem. 

Wir können dadurch unsere Zahlen in einer Stellenwerttafel darstellen: 

Beispiel:

Die Zahl 13 785 setzt sich also aus folgenden "Bausteinen" zusammen: 

1 Zehntausender, 3 Tausender, 7 Hunderter, 8 Zehner und 5 Einer. 

Wenn wir dies zusammenrechnen, ergibt sich also 

1 ⋅ 10 000 + 5 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1

Das Ergebnis ist unsere Zahl 13 785.  Das kannst du gerne nachrechnen. Praktischerweise lässt sich dies aber auch einfach aus der Stellenwerttafel ablesen. 

Du siehst in der Spalte ganz links drei Punkte. Das soll ausdrücken, dass es noch weitere Stellenwerte gibt (und damit sogar noch größere Zahlen). Aber wir müssen ja nicht übertreiben. 

Da eine Stellenwerttafel erst mit Werten richtig Sinn ergibt, wollen wir unsere doch mal ein wenig auffüllen: 

Wie bei den Zahlen bis zur Millionen können wir nun ablesen, um welche Zahlen es sich hier handelt. Für das Verständnis, notiere ich sie dir als Zahlwort. Lies sie laut, das kann dir helfen, die jeweilige Zahl zu verstehen:

307 043 000 905: 

dreihundertsieben Milliarden dreiundvierzig Millionen neunhundertfünf 

83 213 841: 

dreiundachtzig Millionen zweihundertdreizehntausendachthunderteinundvierzig

2 345 678 901 234:

zwei Billionen dreihundertfünfundvierzig Milliarden sechshundertachtundsiebzig Millionen neunhunderteintausendzweihundertvierunddreißig

Vergleich doch mal den Anfang des Zahlwortes mit der Position im Stellenwertsystem :)

Und schaut nochmal auf die Schreibweise. Hier könnt ihr nochmal sehen, dass über einer Millionen getrennt geschrieben wird. 

Übrigens ist es deutlich einfacher große Zahlen zu lesen, wenn du die Ziffern von rechts nach links in Dreierblöcke aufteilst, also ein klitzekleines bisschen Abstand alle drei Ziffern einbaust: 

So schreibst du statt 516849151 besser 516 849 151.

Und bitte, setz keine Punkte zwischen die Zahlen. Das sehe ich in Klasse 5 leider sehr häufig, ist fachlich jedoch nicht korrekt und sieht auch noch unfein aus :)

Da Schätzen trainiert werden muss, solltest du auch vor Anwendung der Strategie eine Schätzung für die Anzahl der Reiskörner abgeben und dir den Wert merken oder irgendwo notieren. 

Anschließend unterteilst du dir das Bild in kleinere, gleich große Teilflächen und erhältst damit ein Schätzraster. Dies könnte zum Beispiel so aussehen: 

Dann wählst du dir eine Teilfläche aus, auf welcher nicht auffällig viele oder auffällig wenige Reiskörner sind. Diese (und nur diese) Fläche zählst du jetzt möglichst exakt aus. Möglichst deswegen, weil manche Reiskörner genau auf den Linien des Schätzrasters liegen werden. 

Das Ergebnis der Zählung multiplizierst du nun mit der Anzahl der Teilflächen, die dein Schätzraster hat. In diesem Beispiel gibt es acht Teilflächen, also muss das Ergebnis der Zählung "mit 8 malgerechnet" werden. So erhältst du eine Schätzung für das gesamte Bild. Vergleiche am Ende mit deiner ersten Schätzung. 

Aaaber....nicht in jeder Teilfläche liegen exakt gleich viele Reiskörner. Das hat zur Folge, dass sich die Ergebnisse der Gesamtschätzung unterscheiden können, ganz abhängig davon, welche Teilfläche zum genauen Auszählen gewählt wurden. Dies solltest du im Hinterkopf behalten. 

Und für die Neugierigen unter euch, die es trotzdem ganz genau wissen wollen: 

Man kann natürlich auch exakt auszählen. Als kleine Starthilfe gibt es die Reiskörner in kleinen Häufchen. Wie viele es tatsächlich sind, bekommst du nun sicherlich alleine raus. 

Neben dem Zehnersystem gibt es noch weitere Systeme, mit denen man Zahlen ausdrücken kann. Eines davon ist das Zweiersystem (oder auch Binärsystem). 

Es unterscheidet sich vom Zehnersystem dadurch, dass die einzelnen Stellen einer Zahl andere Werte haben, als wir es gewohnt sind. 

So haben wir nun nicht mehr Einer, Zehner, Hunderter (immer das 10-fache), sondern nun Einer, Zweier, Vierer, Achter, Sechszehner,... also immer das Doppelte des vorhergehenden Stellenwertes. 

Unsere bekannten Zahlen werden in diesem System nur mit Hilfe von Einsen und Nullen ausgedrückt. Das heißt, entweder haben wir vom jeweiligen Stellenwert "einen" oder "keinen". 

Um zu erkennen, dass eine Zahl im Zweiersystem dargestellt ist, schreibt man hinter die letzte (rechte) Ziffer eine kleine, tiefergestellte 2. 

Beispiel 1:

Die Zahl 1011₂ kann mit Hilfe der Stellenwerttafel ins Zehnersystem übertragen werden:

Die Zahl 1011₂ kann mit Hilfe der Stellenwerttafel ins Zehnersystem übertragen werden. 

Wenn wir die einzelnen Stellenwerte nun als "Bausteine" betrachten, haben wir nun folgende Bausteine: 

Einen 8er, null (keinen) 4er, einen 2er und einen 1er.  Dies rechnen wir nun zusammen: 

  1 ⋅ 8 + 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1

= 8 + 2 + 1

= 11

Das bedeutet, die Zahl 1011₂ im Zweiersystem entspricht der uns bekannten 11. 

Beispiel 2:

Die Zahl 100101₂ soll in das Zehnersystem übersetzt werden. 

Die Bausteine, die nicht vorhanden sind, müssen wir nicht beachten. Damit sind also folgende Bausteine vorhanden:  Ein 32er, ein 4er und ein 1er. 

Rechnen wir diese zusammen (32 + 4 + 1) erhalten wir den Wert 37. 

Das bedeutet, die Zahl 100101₂ im Zweiersystem entspricht der uns bekannten 37. 

Umgekehrt lassen sich unsere "normalen" Zahlen auch in das Zweiersystem übersetzen. 

Dazu wird versucht, diese in die Bausteine (Stellenwerte) des Zweiersystems zu zerlegen. Am einfachsten ist es, wenn man dabei versucht, bei den großen Bausteinen zu beginnen. 

Beispiel:

Die Zahl 9 soll im Zweiersystem dargestellt werden. 

Der Baustein "16er" ist zu groß, aber es passt ein "8er" hinein. 

Zieht man die 8 von der 9 ab, bleibt noch 1 übrig. Also ein "1er".  Bausteine dazwischen gibt es nicht.  Das ist für die Schreibweise wichtig. 

Wir haben also: 

Einen 8er, keinen 4er, keinen 2er und einen 1er.  Damit ergibt sich die Zahl 1001₂ im Zweiersystem.  Wenn es dir leichter fällt, trag die Bausteine ruhig in die Stellenwerttafel ein. Das sieht dann so aus:  

Beispiel 2:

Die Zahl 44 soll im Zweiersystem dargestellt werden.  

Der Baustein "64er" ist zu groß, aber es passt der nächstkleinere "32er" rein. Übrig bleiben (43 - 32) 12.  Die 12 ist zu klein für einen "16er", den wir also nicht nutzen können. Aber der "8er" geht wieder. Bleiben (12 - 8) 4 übrig.  Praktischerweise gibt es das als Baustein. Wir nutzen also einen "4er".   Nun ist unsere Zahl zerlegt und wir benötigen keinen "2er" und keinen "1er". 

Wir haben also folgende Bausteine; ;

Einen 32er, keinen 16er, einen 8er, einen 4er, keinen 2er und keinen 1er. 

In der Stellenwerttafel sieht dies so aus: 

Demzufolge ist die Zahl 44 des Zehnersystems die Zahl 1011002 im Zweiersystem. 

Noch eine andere Art, natürliche Zahlen darzustellen ist die Verwendung der römischen Zahlzeichen. Hier werden für bestimmte Zahlen Buchstaben mit fester Bedeutung verwendet:  

Dieses Zahlensystem ist ein sogenanntes Additionssystem. Wenn man also die Zahl 30 darstellen möchte nimmt man das X dreimal, da 10 + 10 + 10 = 30 ist.  Man schreibt: XXX.

Leider ist das ganze nun nicht so einfach, dass man für die die 40 noch ein X dranhängt und einfach XXXX schreibt. Es gibt nämlich ein paar Regel für die Verwendung römischer Zahlzeichen. 

So darf jedes der Zeichen I (1), X (10) und C (100) höchstens dreimal nebeneinanderstehen. Und die Zahlen V (5), L (50), D (500) dürfen insgesamt nur einmal pro Zahl auftauchen. 

Das macht das ganze etwas kniffliger. Doch eine dritte Regel hilft uns: 

Wenn I (1), X (10) oder C (100) vor einem Zahlzeichen mit größerem Wert steht, wird subtrahiert.

Das bedeutet also für unsere Zahl 40, wir stellen sie als "50 - 10" dar, indem wir das L für die 50 notieren und ein X für die 10 davor schreiben. Damit steht das kleinere X vor einem größerem L und dementsprechend steht XL für die Zahl 40. 

Auf der folgenden Abbildung findest du neben den Zahlzeichen und den Regeln noch einige Beispiele: 

LV beispielsweise steht also  für 50 + 5 und damit für die Zahl 55. 

Andersrum würde VL für 50 - 5 und damit 45 stehen. 

Oftmals findest du an Gebäuden das Erbauungsjahr mit römischen Zahlzeichen. Halte doch beim nächsten Spaziergang die Augen offen und versuche diese Jahreszahlen zu übersetzen.